[INA PITALICA] Mozgalica s čokoladom Djeda Božićnjaka

Portal Srednja.hr i INA uz pomoć studentske udruge Mladi nadareni matematičari ‘Marin Getaldić’ organiziraju ciklus INA pitalica kroz koje jednom mjesečno tijekom školske godine nagrađujemo točne odgovore na matematička i logička pitanja. Završili smo 2015. godinu s pitalicom pomoći Djedu Božićnjaku, a prvi odgovor dobili smo od Ivone Lovrenčić  koja će dobiti poklon iznenađenja iz INA-e.

Zahvaljujemo se stotinama ljudi koji su kroz 2015. godinu sudjelovali u projektu INA Pitalica te na taj način s udrugom Mladi nadareni matematičari ‘Marin Getaldić’ i nama vježbali moždane vijuge.

Pitalica pomoći Djedu Božićnjaku

Djed Božićnjak pravi omiljenu čokoladu za poklon Ani. Na raspolaganju ima 200 različitih vrsta kakaovaca, no samo je jedna vrsta ona prava, a on ne zna koja je. Stoga je odlučio zaposliti vilenjake da isprobavaju vrste kako bi ustanovili koja je prava. Način na koji vilenjaci isprobavaju je sljedeći: Djed Božićnjak pomiješa nekoliko vrsta (moguće i samo jednu) i od njih napravi jednu kockicu čokolade. Zatim da nekom vilenjaku da ju pojede.

Ako postoji pravi kakaovac u toj kockici, vilenjaku će se zacrveniti uši od finoće okusa i zaspat će od ugode te više neće moći jesti čokoladu. Ako ne, Djed spravi novu kockicu čokolade od nekih smjesa i daje ju dalje na testiranje. Problem je što se vilenjaci zasite nakon dvije kockice i više ne mogu jesti čokoladu. Koliko je minimalno vilenjaka Djedu potrebnu da sa sigurnošću odredi koja je prava vrsta kakaovca koju će upotrijebiti Ani za poklon?

Rješnje pitalice

5 vilenjaka. Prvom da čokoladu napravljenu od otprilike trećine = 67 smjesa. Ako zaspe, zna da je prava smjesa u prvoj trećini. Ako ne zaspe, da mu čokoladu od drugih 67 smjesa. Ako sad zaspe, zna da je prava u toj trećini, a ako ne zaspe nego se samo zasiti, zna da je prava smjesa u zadnjoj trećini, tj. u preostalih 66 smjesa. Bilo kako bilo, pomoću jednog vilenjaka, Djed je broj smjesa umanjio za faktor 3. S idućim vilenjakom, znat će da je prava smjesa neka među 67/3 = 23. S trećim, izbor će pasti na 23/3 = 8 smjesa. S četvrtim na 8/3 = 3 smjese, te će s petim vilenjakom sa sigurnošću znati koja je smjesa prava, jer će izbor pasti na samo jednu smjesu. Također, primjetite da s pet vilenjaka, Djed može razabrati i između više, točnije 3^5 = 243 smjese! Isto tako, probajte se uvjeriti da Djedu četiri vilenjaka nisu dovoljna, tj. da s njima može razabrati najviše među 3^4 = 81 smjesa.