[INA Pitalica] Odgonetnuta mozgalica o kuglicama na boru

Portal Srednja.hr i INA uz pomoć studentske udruge Mladi nadareni
matematičari ‘Marin Getaldić’ organiziraju ciklus INA pitalica kroz koje
jednom mjesečno tijekom školske godine nagrađujemo točne odgovore na
matematička i logička pitanja. Posljednji pobjednik u 2014. godini je Ivan Marjančić koji je prvi točno odgonetnuo broj kuglica na boru

Došli smo i do posljednje INA Pitalice u 2014. godini, a Ivan Marjančić nam je prvi poslao točan odgovor zadatka za prosinac.

Zadatak za prosinac

Stjepan broji kuglice.

Stjepanovi imaju veliki bor za Božić kojeg je ukrasila Stjepanova
sestra Ana. Ana voli šarene ukrase, no voli i pravilno ukrašavati
stvari. Stoga je okitila bor na sljedeći način: Na najniži dio bora
postavila je u krug 1000 crvenih kuglica za bor. Na jedan nivo iznad,
kako se bor sužava prema vrhu, stalo joj je 999 bijelih kuglica.

Na
sljedeći nivo, stavila je 998 plavih, zatim 997 crvenih, pa 996 bijelih
i tako je nastavila ukrašavati bor izmjenjući te tri boje u pravilnom
redosljedu dok nije došla na sam vrh gdje je postavila točno jednu
kuglicu. Stjepana sada zanima koliko ima kuglica koje boje, te, budući
da je bor jako visok, zanima ga i koje je boje kuglica na samome vrhu,
budući da je ne vidi. Također, zanima ga i koje su boje kuglice u onom
krugu u kojem je stalo točno 44 kuglice, budući da je 44 Stjepanov
sretan broj. Pokušajte pomoći Stjepanu odgovoriti na ova tri pitanja.

Izdvojeni članak

[INA Pitalica] Koliko kuglica se nalazi na boru?

Točan odgovor

Bijelih kuglica po krugovima ima redom 999, 996, 993, … Dakle, U svakom krugu je broj bijelih kuglica djeljiv sa 3. Slično, broj crvenih kuglica uvijek daje ostatak 1 pri djeljenju s 3, a broj plavih ostatak 2. Stoga se u krugu u kojem ima 44 kuglice, budući da je 44 = 3*14 + 2, odnosno 44 daje ostatak 2 pri djeljenju s 3, nalaze plave kuglice. Slično, u “krugu” gdje ima samo jedna kuglica, ta kuglica je crvene boje, budući da 1 daje ostatak 1 pri djeljenju s tri. Dakle, kuglica na samom vrhu je crvena.

Odredimo još broj pojedinih kuglica. Krenimo od bijelih. Njih ima 999 + 996 + … + 6 + 3 = 3*(333 + 332 + … + 2 + 1). Primjenom Gaussovog pravila vidimo da ovaj broj iznosi 3*(333+1)*333/2 = 166833. Sada možemo sličnom metodom odrediti i broj crvenih i plavih kuglica, ili možemo na jedan sličan način doći do traženog broja. Bijele kuglice se pojavljuju na 333 različitih nivoa, kao i plave, a crvene na njih 334. Na svakom nivou gdje su plave kuglice, njih ima točno za jednu manje nego od odgovarajućeg nivoa gdje su bijele.

Stoga, plavih kuglica ima 166833 – 333 = 166500. Crvenih na svakom nivou ima po jedna više nego na odgovarajućem nivou bijelih, dakle ima ih 166833 + 333, te još plus ona jedna na vrhu = 167167.