[INA Pitalica] Rješenje mozgalice s kraljem i otrovnim bačvama
Portal Srednja.hr i INA uz pomoć studentske udruge Mladi nadareni matematičari ‘Marin Getaldić’ organiziraju ciklus INA pitalica kroz koje tijekom školske godine nagrađujemo točne odgovore na matematička i logička pitanja. Prvu nagradu i poklon iznenađenja iz INA-e u 2017. osvaja Mato Gudelj koji je prvi točno odgovorio na kraljevu mozgalicu.
U suradnji s INA-om i Mladim nadarenim matematičarima Marinom Getaldićem objavljujemo mozgalice, a osobu koja nam prva pošalje točan odgovor nagrađujemo s poklonom iznenađenja. Prvi pobjednik u 2017. godini je Domagoj Kardum, a probajte sami riješiti mozgalicu prije nego što pročitate točan odgovor.
Pitalica: Kako da kralj otkrije koja je bačva otrovana?
Kralj neke zemlje dobio je 16 bačava vina za rođendan od rodbine. Međutim, zna da ga netko od njih želi otrovati kako bi mu preuzeo prijestolje, te je zato siguran da je točno jedna bačva vina otrovna. Otrov je poseban: osoba koja ga popije umire točno u ponoć tog dana.
Srećom, na raspolaganju su mu 4 kušača vina. U koliko najmanje dana može odrediti koja je bačva otrovna?
Odgovor
Numeriramo bačve brojevima od 1-16. Prvi dan svaki kušač isproba vino iz 8 bačava. Prvi kušač pije iz bačava 1-8, drugi 9-16, treći iz parnih bačava, a četvrti iz neparnih. Dva kušača umiru, dva prežive i ostaje nam mogućnost da je u jednoj od četiri bačve otrov. Prvi kušač koji je preživio isproba vino iz dvije bačve, drugi kušač iz druge dvije. Jedan od njih umre, jedan preživi. Ostaje mogućnost da je u jednoj od dvije bačve otrov. Kušač koji je jedini ostao živ proba vino iz jedne bačve. Ukoliko umre otrov je u bačvi iz koje je kušao vino, ukoliko preživi otrov je u drugoj bačvi.
Ispravak točnog odgovora
Objavili smo krivi točni odgovor koji i dalje stoji u paragrafu iznad. Ovo je točan odgovor na mozgalicu:
Moguće je odrediti otrovnu bačvu u jednom danu.
Označimo bačve brojevima 0, 1, 2, …, 15. Ispod brojeva napišimo njihov binarni zapis u 4 znamenke: 0000, 0001, 0010, …., 1111.
Sada prvi kušač kuša sve brojeve s prvom znamenkom 1, drugi s drugom znamenkom 1, treći s trećom znamenkom 1 i četvrti s četvrtom znamenkom 1. Otrovna bačva ima jedinice samo na mjestima na kojima su kušači umrli, i jedinstveno je određena.
Na primjer, ako umru prvi, drugi i četvrti kušač, tražena bačva je 1101 binarno = bačva s brojem 13.
