[INA PITALICA] Rješenje mozgalice s razbijanjem pepeljare
Portal Srednja.hr i INA uz pomoć studentske udruge Mladi nadareni matematičari ‘Marin Getaldić’ organiziraju ciklus INA pitalica kroz koje jednom mjesečno tijekom školske godine nagrađujemo točne odgovore na matematička i logička pitanja. Pobjednik mozgalice s razbijanjem pepeljare je Filip Grnja.
Pitalica s Vedranom pepeljarom i njenim razbijanjem s nebodera pomučila je mnoge, a nakon što je na nju točno odgovorio Filip Grnja, možemo objaviti točno rješenje.
Pitalica prosinac
Vedran živi u neboderu od 100 katova i ima dvije kristalne pepeljare. Pepeljare su jednake i razbit će se, ako ih Vedran baci s nekih viših katova, a neće se razbiti ako ih baci s nekih nižih. Vedrana zanima koji je najniži kat s kojeg će se bačena pepljara razbiti. Koliki je miminalni broj bacanja potreban da Vedran sa sigurnošću odredi taj kat? Pepeljara koja se razbila više se ne može upotrijebiti u pokusu, također Vedran smije razbiti obje pepeljare u pokusu.
Rješenje
14 bacanja. Postupak je sljedeći:
Baci prvu pepeljaru s 14. kata.
Ako se razbije, baca drugu pepeljaru redom s 1., 2., …, 13. kata. Prvi kat s kojeg se pepeljara razbije je traženi kat. Ako se ne razbije niti s jednog, traženi kat je 14.
Ako se prva pepeljara ne razbije pri bacanju s 14. kata, baci ju sa 14+13 = 27. kata.
Ako se sad razbije, baca drugu pepeljaru redom s 15., 16., …, 26. kata. To je sada 12 različitih katova. Prvi s kojeg se razbije je traženi. Ako se ne razbije niti s jednog, traženi kat je 27.
Ako se prva pepeljara ne razbije pri bacanju s 27. kata, baci ju sa 14+13+12 = 39. kata.
Ako se sad razbije, baca drugu pepeljaru redom s 28., 29., …, 38. kata. To je sada 11 različitih katova. Prvi s kojeg se razbije je traženi. Ako se ne razbije niti s jednog, traženi kat je 39.
Ponavlja ovaj postupak pri čemu prvu pepljaru baca redom s katova: 14., 27., 39., 50., 60., 69., 77., 84., 90., 95.
Sad zapravo napravi istu stvar za kraj.
Ako se prva pepeljara nije razbila pri bacanju s 95. kata, baci ju s 95+4 = 99. kata.
Ako se razbije, baca drugu redom s 96., 97. i 98. kata. To su 3 kata, a prvu je dosad bacio 11 puta, dakle maksimalno ukupno 14. Prvi kat s kojeg se druga pepeljara razbije je traženi.
Ako se prva pepeljara ne rabije s 99. kata, onda je traženi kat 100.
Primjetite da smo ovim postupkom mogli dopustiti i nešto višu visinu nebodera, točnije, 106 katova. Također, probajte se uvjeriti da nam 13 bacanja nije dovoljno. Na primjer, za ovaj postupak ako se prva pepeljara rabije s 14. kata, a druga se ne razbije na katovima 1.-12., nećemo znati je li taj kritični kat 13. ili 14.
