Jeste li znali da su temeljne tvrdnje u matematici – nedokazane? Objašnjavamo što to znači
Prošlo je 90 godina otkako je Kurt Gödel iznio svoje famozne teoreme, koji su tema rasprava iz perspektiva koje ni zamisliti ne može, još dan danas. On je, dosta interesantno, pokazao da neke tvrdnje u matematici nisu dokazane, štoviše, nisu dokazive koristeći matematičke metode. Te tvrdnje su upravo temelji matematike – aksiomi.
Foto: Unsplash
Big Think ima sjajnu priču o tome kako je Kurt Gödel iznio problem koji je pokrenuo debate koje traju već 90 godina i ne čini se da će uskoro završiti.
Umjesto da ga riješi, stvorio problem
Početkom 20. stoljeća, poznati matematičan David Hilbert iznio je 23 problema iz matematike koje treba riješiti. Neki od njih bili su prilično ezoterični, dok su oni veći, fundamentalniji ‘zalogaji’ bili vezani upravo uz konzistentnost i potpunost te discipline. Hilbert je mrzio to što matematika ovisi o nekoliko ‘aksioma’ koji, po sebi, nisu dokazani. Njemu su zapravo smetali ti ‘repovi’, htio ih se riješiti jer, to je ipak, kako piše Big Think, bila matematika.
Kurt Gödel bio je taj koji ih je riješio? Ne, ni približno. On je zapravo zabio zadnji čavao u lijes onim intelektualnim pokušajima da sve u matematici dokažu. Kako bismo objasnili kako, podcrtava Big Think, moramo objasniti što su aksiomi. Aksiomi su one tvrdnje koje uzimamo za točne prije nego uopće krenemo raditi matematiku. Recimo da su to kao slova koja trebamo da bismo sastavili riječi. Primjer jednog takvog matematičkog aksioma je i A + B = B + A. To su sami temelji matematike i svih njenih metoda.
Pokazao je dvije stvari
Problem koji su matematičari uočili u povijesti, a početkom 20. stoljeća i Hilbert, je da aksiomi nisu dokazani. Oni su istiniti zato što uvijek funkcioniraju i konstantno ih promatramo kao istinite, no i dalje nisu dokazani. Tu dolazi Gödel.
Zamislite da je matematika jedan velika vreća u kojoj se nalaze sve stvari koje matematika može učiniti – metode, funkcije, brojevi – sve. Gödel je uspio pokazati dvije stvari. Prvo, da u toj velikoj vreći postoje tvrdnje koje se ne mogu dokazati; to su upravo, kako smo i spomenuli, aksiomi. Drugo, pokazao je da nema načina za dokazati aksiome ‘unutar te vreće’. Drugim riječima, neke matematičke tvrdnje – aksiome – matematika ne može dokazati, koristeći upravo svoje metode.
Gödel nije jedini koji je primijetio taj problem. Bertrand Russell je nešto slično opazio, doduše, u filozofiji jezika i logici. Russelov paradoks odnosi se na lažova. ‘Ova rečenica je netočna’ – istinita je samo ako je neistinita, odnosno neistinita samo ako je istinita. Stvara se određena logička cirkularnost koja je paradoksalna.
To ne znači da matematika nema smisla
Kurt Gödel je isti taj sustav razmišljanja i logike primijenio na matematiku. Uzeo je rečenicu ‘ova tvrdnja je nedokazana’, rpetvorio ju u brojčani argument putem kodnog sustava nazvanog Gödelovim brojem pa otkrio da se ta tvrdnja ne može dokazati unutar zadanog sustava. No tu nije stao. Gödel je dalje tvrdio da svaki sustav, dovoljno da bude dovoljno širok da sadrži aritmetiku, sadrži barem jednu tvrdnju koja se ne može dokazati unutar tog sustava, koristeći samo metode koje taj sustav ima na raspolaganju.
Da bismo mogli dokazati aksiome, potreban nam je neki ‘metajezik’. Ako se i dalje mučite s razumijevanjem, pokušajmo slikovito to prikazati. Kako je nemoguće dokazati aksiome unutar matematike? Isto kao što je nemoguće ocrtati na papiru onu ruku kojom držite olovku. Ovo naglasimo ne znači da matematika nema smisla. Gödel je vjerovao u objektivne istine, ali je samo pokazao da svaki složeni sustav, ne može dokazati vlastite fundamente, koristeći samo pravila tog sustava. Postmodernisti zloupotrijebili su njegova saznanja da pokušaju sve relativizirati, no to uopće nije bila poanta njegova saznanja, niti iz tih saznanja proizlazi iti kakva relativizacija.
Razgovarali smo s profesorom matematike
O ovoj smo zanimljivoj tematici razgovarali s Mladenom Vukovićem, sveučilišnim profesorom matematike sa zagrebačkog PMF-a. Na devedesetu obljetnicu objave Gödelovih teorema kaže da su to dosta duboka saznanja o samim temeljima matematike. Njegovi teoremi, kaže nam profesor Vuković, i danas potiču razna istraživanja.
Oba Gödelova teorema, podcrtava profesor Vuković, kažu da postoje tvrdnje koje nisu dokazive zadanim aksiomima i pravilima izvoda koje smo na početku zadali unutar neke teorije. Tu se, pak, kaže nam, postavlja pitanje zašto onda ne uvedemo neke dodatne aksiome i pravila; no, prema saznanjima Kurta Gödela, jasno je da će svaki dovoljno bogati sustav imati tvrdnje koje nisu dokazive unutar tog sustava.
– Sedamdesetih godina prošlog stoljeća otkriveno je više vrlo zanimljivih tvrdnji o prirodnim brojevima koje nisu dokazive zadanim sredstvima. Gödelovi teoremi nepotpunosti jednostavno ukazuju na ograničenja aksiomatske metode u matematici, zaključuje profesor Vuković.
